稳恒磁场和磁力

发布于:2021-11-29 13:33:38

稳恒磁场和磁力 (第7章~第8章)

7.1~7.2 磁场 磁感应强度 一、磁现象

磁石 Fe3Ο4

慈石

1820年,奥斯特揭示了磁现象与电现象之间的内在联系。
磁现象起源: 分子电流

一切磁现象的根源是电流

1

电流

磁场

电流

二、磁感应强度

? B

运动电荷:

? F

?

? qv

?

? B

洛仑兹公式
F ? qvBsin? 洛仑兹力

载流小线圈:

?

磁?矩Pm:

n? Pm

Pm ? ISn?

I

磁场力矩 M

??? M ? Pm ? B

2

B的单位:N·s/(C·m),称为特斯拉T,
1T=104Gs(高斯)
脉冲星:表面磁场约为108T; 某些原子核附*:104T; 超导磁体:可激发高达25T的磁场; 大型磁铁:可激发大于2T的恒定磁场; 地球磁场:大约10-4T; 室内:10-7~10-6T; 人体心脏:激发的磁场约为3×10-10T.
3

??
? 磁场叠加原理: B ? Bi

比较:

?

q?E

? I?B Idl

点电荷微元dq

? dE

?

1
4?? 0

dq ? r 2 r0

电流元 Idl

dB p

Idl

场点

I

r

场源
4

8.1 *-萨伐尔定律

一、*拢ザ
? 电流元 Idl

dB ?

?0 4?

Idl sin θ r2

dB

?0 ? 4? ?10 ?7 N ? A?2

真空中的磁导率
Idl

r

矢量式: ? dB ?

?0

?? Idl ? r0

?

?0

?? Idl ? r

4? r 2

4? r3

5

? ? ?
B?

? dB ?

?0 4?

L

? Idl

?

? r

r3

讨论:
(1)只能间接地证明 。 (2)在电流元的延长线上,dB=0
? =0或? (3)I 分布→B的分布。 (4) I 是指线电流。

6

二、应用

??

?

?

B ? ? dB 矢量积分 E ? ? dE

1. 直线电流的磁场

dB ?

?0 4?

Idl sinθ r?2 ?

dB?的方向:? Idl ? r

B ? dB

? ? ? 各dB的方向一致

B?

dB

?

?0 4?

Idl sinθ r2

? ? ? / 2 ? ? sinθ= cosβ l ? dtg?

r ? d / cos? ? d sec? dl ? d sec2 ?d?

7

? B ? ?0 ?2 I cos? d?
4? ?1 d

B

?

?0I 4? d

(sin

?2

? sin

?1)

β1 , β2的含义及符号:

讨论:

(1)无限长载流直导线

?1

?

?

?
2

?2

?

?
2

B ? ?0I [sin ? ? sin(? ? )]

4? r 2

2

B ? ?0I 2? r

P r
8

B

?

?0I 4? d

(sin

?2

? sin

?1 )

(2)半无限长载流直导线
P

?1

?

?

?
2

r

P
?2 ? 0

r
(3)其它例子

B ? ?0I 4? r

?1 ? 0

?2

?

?
2

9

2. 圆形电流轴线上的磁场

dB ?
?

?0 Idl sin 900
4?? r 2

?

?0 4?

Idl r2

B ??? dB

各dB具?有对称性

所有dB 形成锥面

? ? ? B ?

dB// ?

dBsin? ? ?0I 4?

? B

?

?0 IR 4?r 3

2?R
dl
0

?

?0IR 2
2r 3

dl sin?
r2

sin? ? R
r
r2 ? R2 ? x2

讨论:(1)圆心:x = 0

B

?

?0R2I
2(R2 ? x2 )3/ 2

方向:

B ? ?0I
2R

10

(2)一段载流圆弧在圆心的磁场:

B ? ?0I ?

I

2R 2?

R

?

O

3. 长直螺线管轴线上的磁场
B ? ?0nI
n为单位长度上线圈的匝数。

11

例题 如图所示,电流I流入一电阻均匀分布的正三

角形线框,其边长为l ,求正三角形中心O处的

磁感应强度B.
?? ? ? ? ? 解: B ? B1 ? B2 ? Bab ? Bac ? Bcb
若选向里为磁场的正方向, 1
则 B ? ?B1 ? B2 ? Bab ? Bac ? Bcb

I

2

b

O

I

a

e

c

B

?

?0I 4? d

(sin

?2

? sin

?1)

? B1 :

d ? oe ? l tg300 ? 3 l

2

6

?2 : ??
3

?1 :

??
2

B1

?

?0I 4? l

(2

3 ? 3)

12

?

B2 : 对于O点,导线2为半无限长载流直导线。

d ? 2oe ? 3 l 3

I

2

b

B2的大小为

O

B2

?

?0I
4?? ob

?
?

3? 0 I 4? l

1

I

a

e

c

显然, Bac ? Bcb 由于电阻均匀分布,从并联可知:

I ab

?

2I ?

ac

? ?

2I

cb

?

因此,对于O点: Bab ? Bac ? Bcb ? 0

B

?

?B1

?

B2

?

?0I 4? l

3( 3 ?1)

方向:垂直向里。

13

例题 一无限长载流导线弯成如图所示的形状,
其电流强度为I,四分之三圆弧的半径为R ,其 圆心为o点,求o点处的磁感应强度B。

解:将导线分成三段, 1、3~半无限长直导线 2~3/4圆弧

2 o
R

1I 3

?B ? B1 ? B2 ? B3

①导线1: r // Idl ; Idl ? r ? 0; ? B1 ? 0

②3/4圆弧:

B2

?

?0 I
2R

? 2?

?

?0 I
2R

3?
2
2?

? 3 ?0I
8R

方向:?

14

③导线3:

?

?1

?

0;

?2

?

?
2

2 o
R

1I 3

B3

?

?0I 4? R

(sin

?2

?

sin

?1)

?

?0I 4? R

方向: ?

? B ? B2 ? B3

? ?0 4?

I ( 3 ?1) R2

方向: ?

AI
O
BI
15

例题 电流均匀地流过宽为a的无限长*面导体薄
板,电流强度为I,P点与板共面,且到板一边的 距离为d,如图所示,求P点的磁感应强度B。

面电流密度j

j? I a

dI ? jdl ? I dl I a

B ? ?0I 2? r

?

dB ? ?0dI ? ?0I dl ?2? r 2? ra

P点: B ? ? dB

l O

dl

d
P

? ? B ?

a
dB ?

?0I

dl

0 2? ra

??

a 0

?0I 2?a(a ? d

?

l)

dl?

?0I 2?a

ln

a

? d

d

a
方向:

16

例题 设半径为R的带电薄圆盘的电荷面密度为σ,

并以角速率ω绕通过盘心垂直盘面的轴转动,求圆

盘中心处的磁感强度。

?

解:利用圆形电流环在
中心处激发的磁场

B ? ?0I
2r

R or

将圆盘分解成许多环形电

dr

流元环带,其带电量为: dq ? ? 2? rdr

每秒转动的圈数: n ? ? dI ? ndq ? ??rdr 2?

dB ?

?0dI
2r

?

1 2

?0??

dr

方向: ?

? ? ?B ?

dB ?

R 0

1 2

?0??

dr

?

1 2

?0?? R

方向: ?
17

三、磁场的高斯定理
1. 磁感应线(或B线) 规定: (1)切线方向与B的方向一致。
(2) B ? dN dS?
下面是一根长直导线和螺线管的磁场用铁 屑显示的磁感应线。
18

2. 磁通量 ? ? d?m ? B ? dS
? BdS cos?
??
?m ? ? B ? ds
s

? ? B cos?dS
s
3. 磁场的高斯定理

也就是磁感应线的条数。

??

? ?m ?

B ? ds ? 0
S

无源场

19

四、运动电荷的磁场

? B

?

?0 4?

?? qv ? r0
r2

?

?0 4?

?? qv ? r
r3

?
与电流元比较: dB ?

?0 4?

?? Idl ? r0
r2

?

?0 4?

?? Idl ? r
r3

20

8.3 安培环路定理

1. 安培环路定理
??

? B ? dl ? ? ?0 Ii

L

i

??

? 比较: E ? dl ? 0

讨论: (1)磁场是涡旋场,或非保守力场。 (2)电流的正负规定: 右手法则

ΣI = I1 - 2 I2 21

??

? B ? dl ? ? ?0 Ii

L

i

(3) 等式两边的含义不同
B是所有电流(包括闭合曲线外的)共同产生的。

(4) 由它求B是有条件的

I1

I2

I3

L 22

2. 应用

??

? B ? dl ? ? ?0 Ii

L

i

(1) 无限长圆柱体电流的磁场

磁感应强度的分布具有对称性

选经过P点的闭合磁感应线作为L回路。

? ? r > R:

?? B ? dl ?

Bdl ? 2?rB

L

L

? ?0I

B ? ?0I 2? r

I
L r P
23

r < R:

I

??
? B ? dl ? ? Bdl ? 2?rB ? ?0I '

L

L

I'

?

j ??

r2

?
?

I R2

??

r2

B

?

?0I 2? R2

r

24

(2) 长直螺线管
对称性分析

管内: B ? ?0nI
管外: B ? 0

为均匀磁场

(3)密绕螺绕环 匝数

B

?

? 0 NI 2? r

通电细螺绕环内:

B ? ?0nI

场点距中心
的距离 r

通电细螺绕环外:
B?0
25

(4)无限大载流*面

j 为面电流密度,即通过与电流 方向垂直的单位长度的电流。

B

?

1 2

?0

j

方向:

j

c

b

da

26

7.3 带电粒子在磁场中的运动

一、洛仑兹力
? ?? F ? qv ? B
?? F ?v

F ? qvBsin ?

若v||B?, 则?F=0 若 v?B
qvB ? m v2 R

带电粒子作匀速直线运动
f ? qvB

R ? mv qB
27

周期 : T ? 2? R ? 2? m

v

qB

T与速度无关。

若v 和B 成任意角度θ: 粒子作螺旋线运动:
R ? mvy ? mvsin?
qB qB
h为螺距

? ? ?? ? ? ? ? ?B ? ? ?Fm ? ?

? ?

?? ?+q m?

? v?
?

28

二、应用

fe fm

? ?? ? ? ?

速度选择器

? ? ? ??? ? ?

fe ? qE fm ? qvB ? qE ? qvB

? ? ? v? ? ? ? ?? ? ? ?

?

v?E/B
磁聚焦

?
B?
?

?

?

? B

?

? ??

? ??

h

? ???

? ???

29

7.4 霍耳效应

UH

?

RH

IB d

RH:霍耳系数

? ??

F?m

?

qv
?

?

B

Fm ? qvB

Fe ? qE Fe ? qE

qE ? qvB E ? vB

N? ? b
UH ? ? E ? dl ? ? vBdl? vBb

I ? js ? nqvs ? nqvbd

M

0

UH

?

I nqbd

Bb

?

1 nq

IB d

?

RH

IB d

RH

?

1 nq

30

IB U H ? RH d

RH

?

1 nq

导体:载流子浓度n较大

UH
I

RH较小,因此,霍耳效应不明显。 半导体: n较小, RH较大,霍耳效应非常显著。

由RH的正负可以测量载流子的类型,是电子导 电,还是空穴导电。

量子霍耳效应

VAA'

RH

?

h me2

I

?m ? 2,3,4,?,?

31

7.5 载流导线在磁场中受的力

一、安培? 定律 ? ?

dF ? Idl ? B 安培力

dF ? IB?dlsin??

??

F ? ? dF ? ? Idl ? B

二、应用

L

1. 匀强磁场

?

??

?

b

? l?

a

I

??

? B
?

F ? ? (Idl ? B)? I (? dl )? B? Il ? B

?L

L

l : 由起点指向终点的矢径。

F ? IlBsin?
32

2. 非均匀磁场

方法:

(1)标出B方向。? ? ? (2)选择Idl, dF ? Idl ? B

得到dF的大小、方向。

(3)

?

?

F ? ? dF

33

例题 刚性载流线圈在均匀磁场中的张力

?

?

F ? I ab? B

? B ? ???

F ? 2RIB

? ?

因整个线圈受到的安培力为零。 ?

?R ? ?
???
I
???

F ? 2T
T ? RIB

? T? a ? ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ?F ? T? b ? I ?

34

均匀磁场
整个导线所受的安培力?

??

R
a

B

两直线段受到的安培力相互

抵消,其贡献为为零。

I

?

?

F ? I ab? B
?

F ? 2RIB

? F
b?
I
?

35

例题

半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2,置于电流为I1的

无限长直线电流的磁场中,直线电流I1恰过半圆直径,两

导线相互绝缘,求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力。

解: B ? ?0I1 建立坐标系XOY

2? r

选择Idl
?

B ? ?0I1
? ?2?R sin?

Y dFy

? dF

A
?

dFx C

I1

X

I2

dF ? I2dl ? B

D

dF

?

I 2 B dl

?

?0 I1I 2 2?R sin?

Rd?

方向

? dFy ? dF cos? 根据对称性知:Fy ? dFy ? 0

? dFx ? dF sin?

Fx ?

? 0

dFx

?

?0 I1I 2 2?

??

36

Fx

?

?0 I1I 2
2

F

?

1 2

?0 I1I 2

方向:垂直I1向右。

Y dFy

? dF

A
?

dFx C

I1

X

I2

D

37

例题 在同一*面上有一条无限长载流直导 线和一有限长载流直导线,它们分别通有电 流 I1 及 I2 。尺寸及位置如图所示。求有限 长导线所受的安培力。

I1 a

b φ I2

38

已知:I1, I2, a, b, φ 求:F12

× ×dF× × × dx

解: dF =I 2dxB 1sin900

I1

x φ I2

×a × × ×b ×

?

I

2dx

?0 I1 2?r

× ×× ××

F

=

? 0I 1I


?2 b
0 (a

dx +x cosφ

)

r ? a ? x cos?

=

? 0I 1I 2
2π cosφ

ln (a +b cosφ a

)

39

三、载流线圈在磁场中的运动

1. 载流线P?圈m的?磁I矩Sn?

多匝载流线圈: Pm =NI S

2. 载流线圈在均匀磁场中受到的磁力矩

?

?

F?2

?

I ab? B
?

F2 ? F2' ? BIl2

F2' ? I cd ? B

总磁力为零

40

M

?

F2

?

l1 2

cos(

?
2

??)

?

F2'

?

l1 2

cos(

?
2

??)

? F2l1 sin? ? BIl2l1 sin?

? BISsin?

因 Pm =I S

M ? PmB sin?

??? M ? Pm ? B

?

?

Pm ? NIS n

讨论:

(1) Pm 仅与NI S有关。 (2)载流线圈在磁场中的*衡
41

??? M ? Pm ? B
稳定*衡 : 当φ=0 时,相应M=0。

不稳定*衡 : 当φ =π 时,相应M=0。

(3)当φ =π /2 时, M最大。 线圈*面与B*行,Φm=0

M的作用: ? Pm

<1800

? B

42

例题 已知半径为之比为2:1的两载流圆线圈各自在其中心
处产生的磁感应强度相等,求当两线圈*行放在均匀外 场中时,两线圈所受力矩大小之比。

解: 设两线圈半径分别为R1、R2,分别通以电流I1、I2,
则其中心磁感应强度分别为:

B10

?

?0 I1
2 R1

已知B10=B20, 所以

B20

?

?0I2
2R2

I1 / I2 ? R1 / R2

设外磁感应强度为B,两线圈磁矩P1和P2与B夹角
均为?,则两线圈所受力矩大小为:

M1 ? P1B sin ? ? ?R12I1B sin ?

M 2 ? P2B sin ? ? ?R22I2B sin ?

M1 M2

?

R12 I1 R22 I 2

? ( R1 )3 R2

?8

43

例题

均匀磁场中放一均匀带正电荷的圆环,其电荷线密

度为λ,圆环可绕与环面垂直的转轴旋转,如图所示,当

圆环以角速度ω转动时,圆环受到的磁力矩为————,其 方向为————。

解:
圆环上等效的电流:
I ? ? ?2?R ? ??R 2?

λ

OR

? B

ω

磁矩 Pm ? IS ? ??R?R2 ? ? ????? R3

Pm的方向垂直向外。

M ? Pm ? B

M ? PmB ? ??? R3B

扩展:圆盘

M的方向在图面中向上。 44

例题

有一长20㎝,直径1 ㎝的螺线管,它上面均匀绕有

1000匝线圈并通以I=10A的电流,今把它放入B=0.2T的

均匀磁场中,则螺线管受到的最大的作用力F=____,螺

线管受到的最大力矩值M=_____。

? ??

F? ? ?Il ??B F= 0

M ? Pm ? B

M max

?

Pm B

?

NI

?d 2
4

B

?

0.157

N ?m

45

三、磁力的功
对于载流导线或线圈
磁力的功,或安培力的功 : dA ? Id?m 若I不变: A ? I??m ? I (?m ??m0 )
46

应用:磁场对载流线圈的作用力原理是制造各种直流 电机、动圈式电压电流表的基本原理

N

I

S

磁悬浮列车
47

安培力的功的应用 轨道炮
在5m米长的导轨上,可使弹头加速到6km/s的速度。 而常规火炮发射弹头的速度一般不超过2km/s。
48


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